勝ってね！ふろんた～れ

しばらく前から数学の勉強をし直しています。

勉強のゴールなんてのはありませんが、「自然数Ｎから複素数Ｃまでの構成を、中学生・高校生くらいの年代に分かりやすく説明できるようになる」ということをひとつの目標としています。

数の構成についてはいろんな教科書に書いてありますし、WEB上にも多数のコンテンツを見つけることができました。

たとえば、このtogetterなどは、twitterという文字数制限のあるなかでの表現なので、各段階を細かく分割して説明しなければならないせいか、非常に読みやすく感じました。フォロワーとのやり取りも理解を助けてくれますし。

おかげで自分なりにかなり理解したつもりになれたのですが、いざ「中・高生に分かりやすく説明」となると全然ダメです。

特に実数Ｒは、有理数Ｑから完備化によって拡大するのですが、完備化の手順は理解できたのですが、完備化が必要になるということの上手な説明ができないのです。

自然数Ｎから整数Ｚへの拡大は加法(和)に関する逆元が、整数Ｚから有理数Ｑへの拡大は乗法(積)に関する逆元が必要ということで、必要性と拡大方法が自然につながっています。
ところが、有理数Ｑから実数Ｒへの拡大については、実数Ｒ(だけ)が必要となる必要性が私の頭の中で整理できていません。

有理数Ｑに含まれない数がある(新しい種類の数が必要になる)という例として、X²=2の根である±√2を取り上げて説明している資料が多いです。しかしこれでは、X²=-1の根である±i(虚数単位)も同様な例となり、有理数Ｑから拡大する先が実数Ｒではなくて、有理係数多項式の根の全体(=代数的数)になってしまいます。

(最初に掲載していた図が間違っていましたので、修正しました)

有理数Ｑから、複素数Ｃを含まずに超越数を含む実数Ｒ全体への拡大が必要になる理由を、分かりやすく説明する例はないでしょうか。

超越数の身近な例が円周率(π)くらいしか思い当たらないところに、このモヤモヤ感の根っこがあるような気はするのですが。(自然対数の底(e)は身近とはいえません)