勝ってね！ふろんた～れ

数学で「指数」や「対数」って聞くと頭が痛くなるかたもいらっしゃるかと思います。指数はX²とかX³とかで少しは身近な感じがすると思いますのでともかくとしても、対数のほうはlog₁₀とか、log₂とかlog_eとか、なにがなんだか。

Wikipediaで対数の項を調べてみると、

対数（たいすう、英語: logarithm）とは、任意の数 x を a を底とする指数関数により x = a^p と表したきの冪指数 p の事である。 p = log_a(x) と書いて a を底とする x の対数という。

なんて書いてあります。対数は指数関数の逆関数だからというのでこういう表現になってしまうのでしょうが、これでわかる方は最初からわかっていらっしゃ方でしょう(^^;

そもそも「対数」なんて普段使わない言葉だから難しいと思うんです。数学には普段使わない言葉が多いですよね。外国で進んだ学問を無理やり日本語(漢語)に置き換えたり、そのままカタカナで書いたりしたものが多いのが原因の一つだと思います。もっともどんな分野でも似たような傾向はありますが。

さて、「対数」を普段使う言葉でいえば「桁が違う」という場合の「桁」に相当します。といえば分かりやすいでしょうか。
10倍違えば1桁違う、100倍違えば2桁違う、1000倍違えば・・・というやつです。
100倍(2桁違う)のさらに1000倍(3桁違う)は、100000倍(=100倍×1000倍)で5桁(=2桁+3桁)となるように、元の数値の掛け算はその数値の桁の足し算に対応します。これが「対数」の本質です。

自分に関係しそうもないような巨大なお金の計算なんかで良く使いますよね。スタジアム建設に何百億円とか、リニア新幹線の建設費が10兆円とか。こんな金額は一万円札でどれくらいの量かなんて想像もつきませんが、スタジアム建設費はマンション購入費(数千万円)の3桁上、リニア新幹線はスタジアム建設費の2～3桁上、みたいな感じでなんとなく桁数で考えているでしょう。

上に挙げた例は、「底が10の対数」とか「常用対数」といって、log₁₀と書きます。

「底が2の対数(log₂)」は、「2進数で桁が違う」と考えればOKです。log₂なんて、普通の生活ではあまり使わないですね。コンピュータ関連では2進数をよく使いますので、log₂も使うことが多いと思いますが。

「自然対数(log_e)」はちょっと説明が面倒なので、うまい説明が思いついたら書きます。
「自然対数だと計算が簡単になるから」とか、「計算が簡単になるような数(ネイピア数 e)を導き出した」って感じなんですが、これじゃわからないですよね。

# このエントリは、前のエントリで「位取り記数法」についてもちょっと触れたので、そのついでに、忘れないうちに書いたものです。